Math

空间上的分形和时间上的混沌有相似性。一个动力方程是时间上的混沌，会收敛到吸引子，根据此画出的动力平面和参数平面是空间上的分形。 Mandelbrot Set 复迭代 有一个关于z的复映射with 参数c如下： $$f_c(z) = z^2 +c$$ 我们想要知道在参数平面中临界点$z = 0$的轨迹是否有界，即 对于一个c，根据迭代规则 $$z_{n+1} = z_{n}^2 + c$$ 生成的序列${x_0,x_1,…} -> \infty$,则无界,$c \notin M,$ 如果序列有界，则$c \in M$。 另外我们还想要知道在动力平面中$c \in C$, 不同z0 的值产生的轨迹是否有界，此时$z_0 \in Julia,$ 如果序列有界，$z_0 \notin Julia$ 如果序列无界。 Algorithm 逃逸时间算法 为了绘制参数平面中的M集，我们需要确定每个c是否属于M集，这里用到了逃逸时间算法。 逃逸准则 对于一个复数$z_n = x_n +iy_n$, 模$|z_n| = \sqrt {x_n^2 + y_n^2}$。我们claim： 如果对于一个复数序列 ${z1,z2…zn}$ 有$|z_j| > max(2,|c|)$则序列将逃逸到无穷大。 证明 当 $|z_j| > max(2,|c|)$, 则 由$|z_j|>2$ 可知 $|z_j| = 2+e,$ for $e\in \R^+$...